Algorithmische Sprache und Programmentwicklung by Prof. Dr. Dr. h.c. Friedrich L. Bauer, Dr. Hans Wössner

By Prof. Dr. Dr. h.c. Friedrich L. Bauer, Dr. Hans Wössner (auth.)

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Zusammenfassend erhält man das Prinzip der Berechnungsinduktion (de Bakker, Scott 1969, vgl. Manna 1974): Für den schwächsten Fixpunkt Imin einer Rechenvorschrift [rJ tunet I == J ,V] gilt eine Eigenschaft P lJminJ, wenn P für riant bleibt: v f, I strikt: P [rJ => Q gilt und unter der Anwendung 21 von, inva- P [, VJJ Diese Methode überträgt sich direkt auf Systeme von Rechenvorschriften; ein besonders wichtiger Fall ist dabei der Nachweis der Gleichwertigkeit zweier Rechenvorschriftenl und g als Eigenschaft des Systems (f, g): P Vmin, gminJ wobei P rt gJ : I(x) = g(x) Beispiel: Für die Rechenvorschriften tunet/ac == (nat n) nat: it n = 0 then 1 else n x lac(n - 1) fi kurz funet lac == ,Vac] 20 Wir beschränken uns hier auf Fälle, die im Rahmen dieses Buches benötigt werden; für eine genauere Diskussion siehe etwa Manna 1974, wo auch eine größere Klasse von zulässigen Prädikaten angegeben wird.

B. heron die Abbildung offensichtlich eindeutig bestimmt ist als Komposition der auftretenden primitiven Funktionen, stellen rekursive Rechenvorschriften Gleichungen für Abbildungen (Funktionalgleichungen) dar. Eine solche Gleichung kann mehrere Lösungen besitzen, wie folgendes Beispiel zeigt (Morris 1968): funet morris "" (int x, Int y) Int: If x = y then suee y else morris(x, morris(pred x, suee (*) y» fl Hier ist morris die "Unbekannte" (der Funktionalgleichung). 4. 5 Mathematische Semantik: Fixpunkttheorie morriso(x,y) = der 33 SUCC X wie auch der Funktion morris j mit morris j (x,y) = der if X ~ Y then succ X else pred y fi für die Unbekannte wird die Funktionalgleichung erfüllt: für morriso erhält man nämlich if X = = if X = Y then else Y then else sucCy morriso(x, morriso(pred x, succ y» fi succy succ x fi = succ x (= morriso(x,y» Für morris j wird der Nachweis aufwendiger; ausführlich geschrieben, ergibt sich: if x = y then succ y else morris j (x, morris j (pred x, succ y» fi = if x = y then succy else if x ~ morris j (pred x, succ y) then succ x else pred morris j (pred x, succ y) fi fi = if x = y then succy else if x ~ (if pred x ~ succ y then succ pred x else pred succ y fi) then succ x else pred morris j (pred x, succ y) fi fi = if x = y then succy else if pred x ~ succ y then (if x ~ x then succ x else pred morris j (pred x, succ y) fi) else (if x ~ y then succ x else pred morris j (pred x, succ y) fi) fi fi (Vereinfachung des Zweiges mit x ~ x) if x = y then succ y else if pred x ~ succ y then SUCCx else if x ~ y then succ x else pred (if pred x ~ succ y then succ pred x else pred succ y fi) fi fi fi 1.

4 Die Ebene der applikativen Formulierung Mit den bisher eingeführten sprachlichen Mitteln zum Aufbau von Rechenvorschriften und Systemen ist die Ebene der applikativen 15 (oder funktionalen 16) Formulierung erreicht, die, auf Abstraktion und Applikation basierend, durch Einsetzungsprinzip und Fallunterscheidung charakterisiert ist. Die Gesamtheit der von einem Satz S primitiver Rechenvorschriften ausgehend funktional formulierbaren Rechenvorschriften und Systeme wird als C(S) bezeichnet. Es ist bekannt, daß C(succ, .

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