Aussagenlogik: Deduktion und Algorithmen by Prof. Dr. rer. nat. Hans Kleine Büning, Dr. rer. pol.

By Prof. Dr. rer. nat. Hans Kleine Büning, Dr. rer. pol. Theodor Lettmann (auth.)

"... Dieses Lehrbuch ... stellt die Grundlagen dieses Gebiets ausführlich und umfassend ... dar." P. Schmitt. Internationale Mathematische Nachrichten, Wien

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Mit der Datenstruktur Liste als einfachster Moglichkeit zur Implementation von Mengen kann eine Formel in KNF also als Liste von Listen (Klauselliste) von Datenstrukturen fur Literale (Literallisten) implementiert werden. Urn den Zugriff auf Atome zu erleichtern und ihre Wahrheitswerte wieder zentral halten zu konnen, wird eine Liste mit Atom-Datenstrukturen aufgebaut. Die LiteralDatenstrukturen bestehen somit aus der Vorzeichenangabe (negiert / nicht negiert) und einem Zeiger auf ein Element dieser Atomliste.

5, daher ist die Annahme falsch und das Lemma damit bewiesen. • Ausgehend von der Anzahl der Atome oder einer beliebigen Struktur konnen wir also im allgemeinen keine "kurze" Darstellung in KNF angeben. Wir wollen anschliefiend zeigen, dafi wir selbst bei Vorliegen einer Konjunktiyen Normalform im allgemeinen nicht einmal die Klausellange reduzieren konnen. 7 Fur aUe k 2: 1 gibt es eine Formel der es keine iiquivalente Formel (3 in k-KNF gibt. k = (A1 V ... V Ak+d fiir paarweise verschiedene Atome A.

8 Seien 4»114»2 und 4»3 in BDT-Form und A ein Atom, dann gilt: 1. -,(A ? 4»1 : 4»2) ~ (A ? -,clh : -,4»2) 2. Fur 0 E {V, /\} gilt: (A ? 4»1: 4»2) 0 4»3 (A ? 4»1 04»3 : 4»2 0 4»3) Negationszeichen konnen also gemaB diesel' Aussage ganz auf die Blatter eines BDT verlagert werden, wo sie schlieBlich zur Invertierung von 0 und 1 fiihren. Aber auch die Konjunktion und Disjunktion zweier BDTs verlagert sich gemaB der zweiten Beziehung auf die Blatter. Da (1 /\ 4»3) = 4»3, (0 /\ 4»3) = 0, (1 V 4»3) = 1 und (0 V 4»3) = 4»3 gilt, kann dies dahingehend vereinfacht werden, daB bei einer Konjunktion von zwei BDTs nur die mit 1 gekennzeichneten Blatter des einen BDT durch den anderen BDT ersetzt werden.

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