Büchi’s Monadic Second Order Successor Arithmetic by Dirk Siefkes

By Dirk Siefkes

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F (a, b) <-> f (a, c ) Now we turn to arbitrary ~O_formulae: Lemma 4: There is an effective procedure to decide for any ZO-formula with free predicate variables whether T(f) = Proof: Let f be t(~"",a,b) p. ). Ol(a) fI (l1t): :f,(t) fI f(b) 1 =df 2~. We will show: If T(f) is not empty, then it contains a word of length not greater than 'fl.. Thus suppose T(·P 1= p, let ucT(f) Let be an 'I1-word of length ! >1 , let v be the corresponding carrying ""'- word: Since 0"", contains l' elements and 1 > l' among the states of v, say v(~) == v(i), out the piece from ~ to i , there must be a repetition where 0 ~ f< f ~ If we cut 1.

A,b)C ~~,then i(~,a,b) 11 ~(~,a,b), i(~,a,b) u CJ(~,a,b), 'i(~,a,b)C~;. Proo:f: Let ~(~,a,b) and ~(~,a,b) be two 2~-:formulae o:f the respective :forms (3f. l'ß L). (t)]1 /\ , [[ß(b)] E z~ . c) The case o:f disjunction :follows :from a) and b). ~ The above proo:f re:flects the :following intuitive :fact: A 2~-:formula f(~,a,b) determines uniquely a :finite piece o:f a process depending on the thread which is choosen as interpretation o:f ~. The process "accepts" those threads which make it satis:fy the :final condition o:f f.

Via Z 0 to Z:," in shol'ling the deQidabili ty. Now l'le will try the same way in showing the closedness under Boolean operations, thus solving the main problem 1. b. f'. ,a,b)C ~~,then i(~,a,b) 11 ~(~,a,b), i(~,a,b) u CJ(~,a,b), 'i(~,a,b)C~;. Proo:f: Let ~(~,a,b) and ~(~,a,b) be two 2~-:formulae o:f the respective :forms (3f. l'ß L). (t)]1 /\ , [[ß(b)] E z~ . c) The case o:f disjunction :follows :from a) and b). ~ The above proo:f re:flects the :following intuitive :fact: A 2~-:formula f(~,a,b) determines uniquely a :finite piece o:f a process depending on the thread which is choosen as interpretation o:f ~.

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