Codierungstheorie: Algebraisch-geometrische Grundlagen und by Werner Lütkebohmert

By Werner Lütkebohmert

Beginnend mit der Fragestellung nach zuverlässiger Datenübertragung wird die elementare lineare Codierungstheorie dargestellt. Insbesondere wird das challenge der Konstruktion von optimalen Codes herausgearbeitet. Dieses anspruchsvolle challenge wird mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst. Das Buch liefert einen schnellen elementaren Zugang zu den algebraischen Kurven und führt den Leser an die grundlegenden Sätze von Bezout und Riemann-Roch heran. Weiterhin werden klassische Fragen von E. Artin und A. Weil über die Zetafunktion eines algebraischen Funktionenkörpers ebenfalls vollständig behandelt. Außerdem werden algebraische Kurven über endlichen Körpern mit vielen rationalen Punkten konstruiert. Nach der mehr theoretischen Lösung des difficulties optimaler Codes wird abschließend der algorithmische Zugang von der Codierung bis zur Decodierung behandelt.

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Die Bedingung mJ = (g, he,t) aquivalent zu (e, he,t) = 0 . Mit 7. folgt daraus die Behauptung. 0 Daraus ergibt sich nun folgender Algorithmus fUr Reed-Muller-Codes. 8 (Decodierung von Reed-Mulier-Codes) Es sei 9 = f +e E A := Abb( V, lF 2 ) mit f = L mIll E R(r,m) lcM und einem Fehlervektor e EA. Fur jedes I c M mit (g, hc,t) fur alle t E 8 1 card(I) = r berechne man . Falls 2· wee) < card (81 ) gilt, so wird mehrheitlich der Wert ml berechnet. Also liefert die Mehrheitsentscheidung den richtigen Koejfizienten ml .

1 Grundlagen und Definitionen Dann sind Xi - ri(X) Codeworter. Diese Codeworter bilden eine Basis von C . W. in reduzierter Form und sieht so aus: ( -r~-k 1 -rn-l E M(k : ) o x n,F,) . Wir wiederholen nun weitere Tatsachen aus der Algebra; vgl. 2. 8 Es seien n und q teilerfremd. ifq nennen wir die n -ten Einheitswurzeln. Sie bilden eine zyklische Gruppe. Jedes erzeugende Element a dieser zyklischen Gruppe heiflt primitive n -te Einheitswurzel. Fur solche Einheitswurzeln sind also 1, a, . , a n- 1 die siimtlichen Nullstellen von xn - 1 .

6/(i) ist C als Teilmenge von lFr' aufzufassen. Nach Konstruktion ist R(r, m) Teilmenge von lFr . 6/(v) bzw. 4/1. dim (C) = (;) + ... + (~) = dim (R(r,m)) . Somit reicht es R(r, m) c C zu zeigen. Die Behauptung ist offenbar richtig fUr r = -l,O,m und wird fUr die ubrigen FaIle durch Induktion nach m bewiesen. Es genugt also zu zeigen, dass die Erzeugenden (u, u) fur Elemente u E R( r, m - 1) , und (0, v) fUr v E R(r - I, m - 1) in C liegen. Nach Induktionsvoraussetzung ist u = g, wobei g(Zl, ...

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