Ebene Isotrope Geometrie by Hans Sachs

By Hans Sachs

Das vorliegende Buch liber ebene i o nope Geome nie beinhaltet den ersten Teil einer Vorlesung liber isotrope Geometrie, die der Autor wiederholt an der Technischen Universitat Mlinchen, an der Universitat Kaiserslautern und an der Technischen Uni versitat Graz gehalten hat. Die Aufgabe dieses Buches ist eine zweifache: Einen ei soll der Leser auf sehr elementarem Weg in die Formenwelt einer interessanten nichteuklidischen Geome trie eingeflihrt werden, wobei die fifty four einpragsamen Textfiguren das Verstandnis flir die anqewandte Beweistechnik motivieren sollen. Andenen ei bereitet diese Darstellung alle Grundla gen vor, die beim Studium der i o nopen Raumgeome nien (ein fach und zweifach isotrope Geometrie) benotigt werden; die Pu blikation eines Lehrbuches zu diesem aktuellen Forschungsthema wird in Klirze gesondert erfolgen. Uberall wurde groBter wert darauf gelegt, alle Begriffe prazise zu formulieren, selbst wenn dadurch - im Vergleich zu den Originalarbeiten - manchmal einiger Aufwand erforderlich conflict. Das Buch berlicksichtigt alle Originalarbeiten bis zum Jahre 1986, die dem Autor zuganglich waren und bietet damit eine systematische Darstellung dieses in sich geschlossenen Teilgebietes der Geometrie. Die Beschaf tigung mit diesem Wissensgebiet laBt nicht nur die vertraute Schulgeometrie plotzlich in anderem Licht erscheinen, sondern laBt auch viele Quenvenbindungen zun Etemen angeome nie erken nen, ja sogar erst richtig verstehen. In diesem Sjnne wendet sich das Buch nicht nur an interessierte Studenten naturwissen schaftlicher Richtungen, sondern kann zweifelsfrei auch mit Erfolg in Leistungskursen an allgemeinbildenden hoheren Schulen eingesetzt werden. Mein Dank flir das Schreiben der Satzvorlage gilt Frau A. SCHAUFFLER (TU Mlinchen), Frau M.

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Hierbei bezeichnen wir als Tan- gentenwinkel jenen Winkel, den die Tangente in P bzw. Q mit der Sehne PvQ bildet. 7:In jedem isotropen Kreis k sind die an eine Sehne PvQ anliegenden isotropen Tangentenwinkel dem Betrage nach gleich dem Peripheriewinkel tiber der Sehne PvQ. Beweis: Ftir den Tangentenvektor 4p im Punkt P E k findet man 4- P = ~ 2p 14 pt 1 =t u (4 p) = 2t 1 . Damit berechnet man den Tangenten- winkel a p im Punkt P wie folgt: PO +t 1 =t = u(PO) a p = u (PO) f = - u ( 4- p) = ~. h.

Ein lineares Kreissystem heiBt ii~Qh, bzw. 23 ) > gilt I 0, I < 0 bzw. I o. 7: Ein lineares parabolisches Kreissystem besteht aus allen Kreisen, die einen festen Kreis k E ff beruhren. 22) besitzt be2 a1 . zuglich der M3 den Pol p(a 3 : - ~ : a 4 : a o : a 2 ), der ers1chtlich fur I [ a ] = 0 auf der M; liegt. Wegen a4"f 0 gilt P E ~;, d •h • 0 -1 . 1st e1n Kre1s v. 5 die Behauptung. • Urn auch zu einer geometrischen Deutung der hyperbolischen bzw. - S7 elliptischen Kreissysteme zu gelangen, untersuchen wir zunachst alle Kreise k(xo:x1:x2:x3:x4:xS) E ~, die einen festen Kreis Q(Xo:X1:X2:X3:X4:XS) E () unter konstantem reel len oder rein imaginarem Winkel ~ ~ 0 schneiden.

8) folgt . • - 28 - Zum Unterschied von der euklidischen Geometrie - wo es stets vier Kreise gibt, die 3 Geraden allgemeiner Lage berlihren - gibt es in der isotropen Ebene genau einen Kreis, der 3 Geraden allgemeiner Lage berlihrt. Da die Seiten eines zulassigen Dreiecks nicht isotrop, aber auch nicht kopunktal oder parallel sind, besitzt ein zulassiges Dreieck einen eindeutig be~timmten Der Inkreisradius wird InQ~ei~. f. mit p bezeichnet, wahrend R den Umkreisradius bezeichnet. f. Zusammenhange auf, die zwischen den Seiten lal, Ibl , Icl, den Winkeln a,6,Y, den Radien R,p und den Invarianten F, ~ eines zulassigen Dreiecks der isotropen Ebene bestehen.

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